Jacobi迭代算法的推导与原理

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Jacobi迭代算法是求解线性方程组 (Ax = b) 的一种经典迭代法，核心思想是将系数矩阵 (A) 分解为对角矩阵、严格下三角矩阵和严格上三角矩阵之和，通过构造迭代格式逐步逼近精确解。以下是详细的推导过程与原理说明。

一、 前置条件：线性方程组的形式

我们考虑n阶线性方程组：

写成矩阵形式为：

其中

• 是系数矩阵
• 是待求向量
• 是常数向量

关键前提：Jacobi迭代要求系数矩阵 (A) 的主对角线元素全不为零，即 。

二、 系数矩阵的分裂

将系数矩阵 (A) 分裂为对角矩阵 (D)、严格下三角矩阵 (L)、严格上三角矩阵 (U) 三部分之和：

各矩阵的定义如下：

1. 对角矩阵 (D)：仅保留 (A) 的主对角线元素，其余位置为0
   
2. 严格下三角矩阵 (L)：仅保留 (A) 主对角线下方的元素，其余位置为0（注意符号：通常定义 (L) 为负的下三角部分）
   
3. 严格上三角矩阵 (U)：仅保留 (A) 主对角线上方的元素，其余位置为0（同理，(U) 为负的上三角部分）
   

三、 Jacobi迭代格式的推导

1. 将矩阵分裂代入方程组 ：
   

2. 移项得到 与其他项的关系：
   

3. 由于 主对角线元素非零， 可逆，两边同时左乘 ：
   

4. 构造迭代格式：
   令迭代矩阵 ，常数向量 ，则迭代公式的矩阵形式为：
   
   其中 是初始迭代向量，可人为选取（如全零向量）。

5. 分量形式（更易编程实现）：
   从矩阵形式展开，可得到每个分量的迭代公式。对于第 (i) 个分量：
   
   该式的物理意义：第 次迭代的 值，由第 次迭代的所有其他分量 计算得到。

四、 Jacobi迭代的收敛性条件

迭代法的核心问题是是否收敛，即当迭代次数 时， 是否趋近于精确解 。
Jacobi迭代收敛的充分必要条件是：迭代矩阵 的谱半径小于1，即

其中谱半径 所有特征值的模的最大值。

常用的充分条件（无需计算特征值，易验证）：

1. 系数矩阵 是严格对角占优矩阵：即对任意 ，主对角线元素的模大于该行其他元素模的和
   
2. 系数矩阵 是对称正定矩阵

五、 计算步骤（以编程为例）

1. 输入系数矩阵 、常数向量 、初始向量 、精度阈值 、最大迭代次数 。
2. 令迭代次数 。
3. 根据分量形式计算 的所有分量。
4. 计算残差的模 ，若小于 ，则收敛，输出 ；否则执行下一步。
5. 若 ，令 ，返回步骤3；否则迭代发散，输出失败信息。